電磁気学　理論　1-3.電磁力

2022年5月29日2023年3月24日

磁界

磁力(磁気力)

・磁性：鉄などを引き付ける性質のこと

・磁極：磁石の両端などの最も磁性の強い部分のこと

・磁気誘導：磁気が接近すると鉄などの物質に反対の磁極が現れる現象のこと

・磁界：磁力の働く空間のこと

磁気に関するクーロンの法則

・磁力：磁石が鉄などを引き付けるときに働く力のこと
磁石にはN極(正極)とS極(負極)があり、異種どうしは吸引力が働き、同種どうしは反発力が働きます
量記号：F　単位記号：ニュートン[N]

・磁荷：磁極が持っている磁気量のこと。磁極の強さともいいます。
量記号：m　単位記号：ウェーバ[Wb]

・距離r[m]離れた2つの点磁荷ｍ₁[Wb]とm₂[Wb]に働く磁力F[N]は、比例定数k_mを用いて
F[N]＝k_mＸｍ₁[Wb]Ｘm₂[Wb]/r²[m]

＊上記もクーロンの法則や万有引力の式のような「定数X2つのパラメータ/距離の2乗」という形の公式ですね

磁界

・透磁率：磁気、磁力線の透し難さのこと
量記号：μ　単位：[H/m]

・比透磁率μ_r：真空での透磁率μ₀と物質の透磁率μとの比率のこと
μ_r＝μ/μ₀

・磁界の強さ：磁界中で1[Wb]あたりに働く磁力の大きさのこと
量記号：H(ヘンリー)　単位：[A/m]
F[N]=m[Wb]XH[A/m]

・磁力線：N極(正極)から出てS極(負極)に吸い込まれる想像上の線のこと

・点磁荷m[Wb]から出る磁力線の本数NはN=m[Wb]/μ[H/m]　となります
H[A/m]=N/4πr₂

・磁気は球状に広がるため電界と同様に考えると比例定数k_m＝1/4πμ　となります
＊真空の透磁率μ₀＝4πX10^-7なので比例定数k_mは真空中ではk_m=6.33X10⁴　となります

・磁束：磁荷の周りの物質の透磁率に関係なく、m[Wb]の磁荷から出るm本の想像上の線のこと
量記号：Φ(ファイ)　単位記号：ウェーバ[Wb]
＊単位は磁荷m[Wb]と同じですね

・磁束密度：磁束に垂直な1[m²]の面積を貫く磁束の本数のこと
量記号：B　単位記号：テスラ[T]
B[T]=Φ[Wb]/A[m²]
　　 ＝μ[H/m]XH[A/m]

電流と磁界の向き

・アンペアの右ねじの法則：電流が流れる向きを右ねじの進む向きと合わせると右ねじを回す向きが磁界の向きとなる法則のこと

・ソレノイド：鉄心などにコイルを一様に隙間なく密に巻いたもの

電流と磁界の大きさ

ビオ・サバールの法則

・ビオ・サバールの法則：微小空間Δl[m]に流れる電流I[A]がつくる磁界ΔH[A/m]を数式で表したもの
電流が流れている導体上に任意の点Oを取ります。微小空間Δl[m]は点O付近の空間です。
点Oからr[m]離れた点をPとします。Δl[m]の接線と線分OPとのなす角をθとします。
点PにおけるΔl[m]に流れる電流I[A]がつくる磁界の大きさΔH[A/m]は
ΔH[A/m]=(1/4πr²)XI[A]XΔl[m]Xsinθ

・円形コイルの中心の磁界H[A/m]
ビオ・サバールの法則よりΔH[A/m]=(1/4πr²)XI[A]XΔl[m]Xsinθ
円形コイルの中心が微小空間となす角度は全ての微小空間でθ＝90°(π/2)であるから
ΔH[A/m]=(1/4πr²)XI[A]XΔl[m]Xsin(π/2)
　　　　 =(1/4πr²)XI[A]XΔl[m]
微小空間Δl[m]は円周上に存在しているので円形コイルの半径をr[m]とすると
H[A/m]=(1/4πr²)XI[A]X2πr
　　　　 ＝I[A]/2r
コイルの巻き数をNとすると
H[A/m]=NXI[A]/2r

＊角度を表す時は度数法の[°(ど)]もしくは弧度法のラジアン[rad]を使います。
180°＝π[rad]です

アンペアの周回路の法則(アンペアの周回積分の法則)

・アンペアの周回路の法則(アンペアの周回積分の法則)：複数の導体に流れている電流I₁[A],I₂[A],・・・I_m[A]とその電流がつくる磁界の関係を数式で表したもの
磁界の中を1周する閉曲線を考え、これを微小な長さΔl₁[m],Δl₂[m],・・・Δl_ｎ[m]に細かく刻みます。
それぞれの微小な部分における磁界の大きさをΔＨ₁[A/m],ΔH₂[A/m],・・・ΔH_ｎ[A/m]とすると
I₁+I₂+・・・+I_m=Δl₁XΔＨ₁+Δl₂XΔH₂+・・・+Δl_ｎXΔH_ｎ

・直線状導体による磁界
無限に長い直線状導体に電流I[A]が流れているとき、導体から距離r[m]の点における磁界H[A/m]はアンペアの周回路の法則より
I＝HX(Δl₁+Δl₂+・・・+Δl_ｎ)
微小長さの合計は円周の長さなので2πr　よって
I＝HX2πr　∴H＝I/2πr

＊「∴」＝ゆえに、「∵」＝なぜならば
　上記は数学で使用される記号です

・環状ソレノイド内部の磁界
環状ソレノイド：輪のような形の鉄心などにコイルを一様に隙間なく密に巻いたもの
巻き数N・平均磁路長l[m]・平均半径r[m]の環状ソレノイドに電流I[A]が流れているとき、内部の磁界H[A/m]はアンペアの周回路の法則より巻き数がNなので
NI=Δl₁XΔＨ₁+Δl₂XΔH₂+・・・+Δl_ｎXΔH_ｎ
環状ソレノイドは均一に巻かれたコイルであるから全ての微小空間で磁界の大きさは等しい。これをHとすると
NI=HX(Δl₁+Δl₂+・・・+Δl_ｎ)
微小長さの合計は円周の長さなので2πr　よって
NI=HX2πr　∴H=NI/2πr

・無限長ソレノイド内部の磁界
無限長ソレノイド：無限に長い円筒状の鉄心などにコイルを一様に隙間なく密に巻きつけたもの
1[m]あたり巻き数N₀の無限長ソレノイドに電流I[A]が流れているとき、無限長ソレノイド内部の磁界H[A/m]はアンペアの周回路の法則より微小長さをl[m]として
N₀IXl=HXl　∴H=N₀I

電磁力

電磁力

・電磁力：電流が流れている導体が磁界から受ける力のこと
量記号：F　単位記号：ニュートン[N]

電流が磁界から受ける力とフレミングの左手の法則

・フレミングの左手の法則：中指・人差し指・親指をそれぞれ直交するように伸ばし、中指を電流の流れる方向、人差し指を磁束密度の向き(N→S)に合わせると、親指の向きが電磁力の向きになるという法則

・電磁力の大きさF[N]
磁束密度をB[T]、電流をI[A]、導体の長さをl[m]とすると
F=BIl
磁束密度と電流の向きが角度θ[rad]の場合は
F=BIlsinθ

・右ねじの法則より、2本の長い導体に同じ向きの電流を流すと引力が働き、逆向きに電流を流すと斥力が働く
このときの導体1[m]あたりに働く力f[N]はF=BIlより
f=BIl/l
=BI
片方の導体aがつくる磁界の磁束密度B[T]は透磁率μ[H/m]とするとB=μHなので
f=μHI_b
直線状導体による磁界の大きさH[A/m]はH=I/2πrなので
f=μI_aI_b/2πr

コイルに働くトルク

・トルク：回転の中心に働く回転力のこと
量記号：T　単位：[N・m]
作用する力F[N]が回転体となす角をθ[rad]とするとトルクT[N・m]は腕の長さをL[m]として
T=FLsinθ

・コイルに働くトルク
コイルの幅をDとするとT=FLより
T=BIlD

磁気回路と磁性体

磁気回路

・磁気回路：円形の環状鉄心に被覆された電線を巻き付けたような磁束の通り道のこと。磁路とも呼ばれる。
このとき電線に電流を流すと磁束が発生しますが、磁束のほとんどが磁気を通しやすい鉄心中に発生するため、鉄心以外の空間にはあまり磁束は発生しません。

・起磁力：磁束を発生させる元となる力のこと。
量記号：F_m　単位記号：アンペア[A]
コイルの巻き数をN、電流をI[A]とすると
F_m=NI

磁気抵抗

・磁気抵抗：磁気回路における磁束の通り難さのこと
量記号：R_m　単位：毎ヘンリー[/H]

・磁気回路のオームの法則
磁束をΦ[Wb]とすると
R_m=F_m/Φ　∴Φ＝NI/R_m

磁気回路	電気回路
オームの法則 Φ＝NI/Rm	オームの法則 I＝E/R
起磁力 Fｍ	起電力 E
磁束 Φ	電流 I
磁気抵抗 Rm＝l/μA	電気抵抗 R=l/σA
透磁率 μ	導電率 σ

・合成磁気抵抗
直列接続：R_m0=R_m1+R_m2
並列接続：1/R_m0=1/R_m1+1/R_m2

磁性体と透磁率・比透磁率

・比透磁率μ_r：ある物質の透磁率μと真空の透磁率μ₀との比のこと
μ_r＝μ/μ₀

名称	比透磁率が・・・	例
強磁性体	1より非常に大きい	鉄Fe・ニッケルNiなど
常磁性体	1よりわずかに大きい	空気・アルミニウムAlなど
反磁性体	1より小さい	銀Ag・銅Cu・水H2O

エアギャップのある磁気回路

・エアギャップ：鉄心に存在する隙間のこと
エアギャップのある磁気回路では、鉄心の磁気抵抗とエアギャップの磁気抵抗が直列接続されていると考えることが出来ます。

磁気飽和とB-H曲線

・B-H曲線：縦軸に磁束密度B[T]をとり、横軸に磁化力H[A/m]をとったグラフのこと
磁化力H[A/m]を大きくしていくと磁束密度B[T]はほぼ比例して増加しますが、やがて一定の値にサチレーションしていきます。これを磁気飽和と呼びます。

・磁気飽和が起きる理由
磁性体は分子磁石という概念を用いて、小さな磁石がバラバラになって構成されていると考えることが出来ます。全体としては打ち消し合うので普段は磁気を帯びていません。
ところが外部から磁化力H[A/m]を加えると、分子磁石の向きが揃うので磁束密度B[T]が増加します。
磁化力H[A/m]を大きくしていき全ての分子磁石の方向が揃うと、それ以上磁束密度B[T]は増加しないため磁気飽和が起こるという訳です。

ヒステリシス曲線

・残留磁気：磁気飽和が起こるまで磁化力H[A/m]を加えた後、磁化力H[A/m]を0にしても残留している磁気のこと

・保磁力：残留磁気を0にするために加えなければならない逆向きの磁化力の大きさのこと

・ヒステリシス曲線(ヒステリシスループ)
縦軸に磁束密度B[T]をとり、横軸に磁化力H[A/m]をとったとき
0→磁化力→磁気飽和→逆向きの磁化力→0→逆向きの磁化力を加え続ける→逆向きの磁気飽和→磁化力→0
のサイクルのグラフのこと。

・ヒステリシス損：分子磁石が回転することで摩擦が発生し、電気エネルギーが熱エネルギーとなって消費されてしまうこと

電磁誘導

ファラデーの法則とレンツの法則

・電磁誘導：コイルを貫く磁束が時間的に変化すると、コイルに起電力が発生する現象のこと

・誘導起電力：電磁誘導によって発生した起電力のこと

・誘導電流：電磁誘導によって発生した電流のこと

・電磁誘導が起きる理由
基本的に自然界は変化を嫌います。物体は速度の変化を嫌うため「慣性」が働きます。
それと同様にコイルも磁束の変化を嫌がり、一時的に誘導起電力を発生させて逆向きの磁束を発生させることにより磁束の変化を妨げようとします。

・電磁誘導に関するファラデーの法則：誘導起電力の大きさe[V]はコイル内部を貫く磁束の単位時間Δt[s]あたりの変化に比例することを表した法則のこと
コイルの巻き数をN、磁束をΦ[Wb]とすると
e=-NΔΦ/Δt

・磁束鎖交数：N回巻のコイルと磁束Φ[Wb]が鎖交する数NΦのこと

・レンツの法則：誘導起電力の向きがコイル内の磁束変化を妨げる向きに発生するという法則のこと

フレミングの右手の法則

・フレミングの右手の法則：中指・人差し指・親指をそれぞれ直交するように伸ばし、親指の向きを導体の移動方向、人差し指を磁束密度の向き(N→S)に合わせると、中指は誘導起電力の方向になるという法則

誘導電磁力の大きさ

磁束密度B[T]の平等磁界に対して垂直に置かれた2本の平行な導体棒で出来たレールを設置し、長さl[m]の導体棒をレールと磁束に垂直になるように速度v[m/s]で転がします。
ファラデーの法則e=-NΔΦ/Δtより1回巻のコイルとみなせるので
e=-NX(-BlvΔt)/Δt
=Blv

導体が磁束Φ[Wb]と角度θ[rad]の向きに移動した場合は
e=BlvXsinθ

渦電流

・渦電流：磁束の変化によって金属板に誘導起電力が生じて発生した渦上の電流のこと

・渦電流損：金属板に渦電流が流れることによってジュール熱が発生し、エネルギーを損失すること

・鉄損：ヒステリシス損+渦電流損のこと

・積層鉄心：表面を絶縁した薄い鋼板を積み重ねた鉄心のこと。渦電流が流れ難く、渦電流損が少ない。

インダクタンスの基礎

インダクタンス

・自己誘導：コイルに流れる電流が変化すると電流によって生じていた磁界が変化します。
その結果コイルを貫く磁束が変化し、その変化を妨げる向きに起電力が発生する現象のこと。

・自己誘導起電力：自己誘導によって発生した起電力のこと。逆起電力とも呼ぶ。

自己誘導起電力はファラデーの法則e=-NΔΦ/Δtより
e=-LΔI/Δt

このときの比例定数Lを自己インダクタンスと呼びます。
量記号：L　単位記号：ヘンリー[H]
L=NΦ/I

・N回巻の環状ソレノイドの自己インダクタンス
磁束Φ=BAより
Φ＝μHXA
アンペアの周回路の法則よりH=NI/lなので
Φ=μNIXA/l
自己インダクタンスL=NΦ/Iより
L=μAN²/l

・相互誘導：2つのコイルが並んでおりそれぞれコイル1とコイル2とします。
コイル1に流れる電流I₁が変化するとコイル1の磁束Φ₁も変化し、コイル2も貫いている磁束Φ₁₂がある場合はコイル2に起電力e₂が発生する現象のこと。

・漏れ磁束：上記の場合にコイル1しか通らない磁束のこと

・相互誘導起電力：相互誘導により発生した起電力のこと。
ファラデーの法則e=-NΔΦ/Δtより
e=-MΔI₁/Δt

このときの比例定数Mを相互インダクタンスと呼びます。
量記号：M　単位記号：ヘンリー[H]
M=N₂Φ₁₂/I₁

・自己インダクタンスと相互インダクタンスの関係
コイル1に関して
L₁=N₁Φ₁/I₁
M=N₂Φ₁/I₁
以上よりM=N₂L₁/N₁

コイル2に関して
L₂=N₂Φ₂/I₂
M=N₁Φ₂/I₂
以上よりM=N₁L₂/N₂

よってM²=(N₂L₁/N₁)X(N₁L₂/N₂)
　　　　 ＝L₁L₂
∴M=k√(L₁L₂)

ここでkは漏れ磁束を考慮した「電気→磁気→電気」の結合の度合いを表す結合係数のこと
k=M/√(L₁L₂)

・和動接続：コイル1とコイル2のつくる磁束Φ₁とΦ₂が同じ向きになる接続方法のこと

和動接続したときの合成自己インダクタンスはL=NΦ/Iより
L=L₁+M₁+L₂+M₂
コイルの巻き数が等しい場合M₁＝M₂なので
L=L₁+L₂+2M

・差動接続：コイル1とコイル2のつくる磁束Φ₁とΦ₂が逆向きになる接続方法のこと

差動接続したときの合成自己インダクタンスはL=NΦ/Iより
L=L₁-M₁+L₂-M₂
コイルの巻き数が等しい場合M₁＝M₂なので
L=L₁+L₂-2M

電磁エネルギー

・コイルに蓄えられる電磁エネルギーWは
W=∫(LI)dIより
W=(1/2)XLI²

・磁界に蓄えられる単位体積当たりのエネルギー密度w
W=(1/2)XLI²と環状ソレノイドの自己インダクタンスL=μAN²/lより
W=(1/2)X(μAN²/l)XI²X(l/l)
　＝(μ/2)X(NI/l)²XAl
H=NI/lとB=μHより
W=(μ/2)XH²XAl
　=(BH/2)XAl
鉄心の体積はAlなので
w=BH/2
　＝(1/2)XμH²
　＝B²/2μ